地上から真上に毎秒30mの速さでボールを投げ上げたとき、$x$秒後のポールの高さ$y$mは $y = -5x^2 + 30x$ で表される。ボールの高さが25m以上にあるのは、何秒後から何秒後までかを求めよ。

## 問題 6

1. 問題の内容

地上から真上に毎秒30mの速さでボールを投げ上げたとき、$x$秒後のポールの高さ$y$mは $y = -5x^2 + 30x$ で表される。ボールの高さが25m以上にあるのは、何秒後から何秒後までかを求めよ。

2. 解き方の手順

ボールの高さが25m以上である条件は、$y \ge 25$である。

したがって、不等式 $-5x^2 + 30x \ge 25$ を解けばよい。

まず、不等式を整理する。

$-5x^2 + 30x \ge 25$

$-5x^2 + 30x - 25 \ge 0$

両辺を-5で割ると不等号の向きが変わるので、

$x^2 - 6x + 5 \le 0$

左辺を因数分解すると、

$(x-1)(x-5) \le 0$

この不等式を満たす$x$の範囲を求める。

2次関数 $y = (x-1)(x-5)$ のグラフを考えると、下に凸の放物線で、$x$軸との交点は$x=1$と$x=5$である。

したがって、$y \le 0$となるのは、$1 \le x \le 5$ のときである。

3. 最終的な答え

ボールの高さが25m以上にあるのは、1秒後から5秒後までである。