不等式 $\sqrt{x+1} \geq -x+5$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} \geq -x+5$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上になる条件が必要です。

$x+1 \geq 0$

$x \geq -1$

次に、不等式の両辺を2乗することを考えます。しかし、$-x+5$の符号によって場合分けが必要です。

(i) $-x+5 < 0$ つまり $x > 5$ のとき、$\sqrt{x+1} \geq -x+5$ は常に成り立ちます。したがって、$x > 5$と$x \geq -1$の共通範囲を考えると、$x > 5$ が解の候補となります。

(ii) $-x+5 \geq 0$ つまり $x \leq 5$ のとき、両辺を2乗して

$(\sqrt{x+1})^2 \geq (-x+5)^2$

$x+1 \geq x^2 -10x + 25$

$0 \geq x^2 -11x + 24$

$x^2 -11x + 24 \leq 0$

$(x-3)(x-8) \leq 0$

$3 \leq x \leq 8$

しかし、$x \leq 5$ の条件下なので、$3 \leq x \leq 5$ が解の候補となります。

最後に、上記の(i)と(ii)で得られた解の候補を合わせます。

(i)より、$x > 5$

(ii)より、$3 \leq x \leq 5$

したがって、 $x > 5$ と $3 \leq x \leq 5$ を合わせると、$3 \leq x$となります。

ただし、最初に求めた条件 $x \geq -1$ と合わせる必要があります。

(i)の$x>5$は条件$x \geq -1$を満たしています。

(ii)の$3 \leq x \leq 5$も条件$x \geq -1$を満たしています。

したがって、(i)と(ii)を合わせた$3 \leq x$が解となります。

最終確認として、$x=3$のとき、$\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$で、$-3+5=2$なので、$\sqrt{x+1} \geq -x+5$は成立します。

また、$x=6$のとき、$\sqrt{6+1} = \sqrt{7}$で、$-6+5=-1$なので、$\sqrt{x+1} \geq -x+5$は成立します。

3. 最終的な答え

$3 \leq x$