与えられた式 $2x^2 + 8ax + 6a^2 -x + a - 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 8ax + 6a^2 -x + a - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$に関する降べきの順に整理します。

$2x^2 + 8ax - x + 6a^2 + a - 1$

$2x^2 + (8a - 1)x + (6a^2 + a - 1)$

次に、定数項である $6a^2 + a - 1$ を因数分解します。

$6a^2 + a - 1 = (2a+1)(3a-1)$

与えられた式が因数分解できると仮定すると、

$2x^2 + (8a - 1)x + (2a+1)(3a-1) = (2x + A)(x + B)$

の形で表せると考えられます。

ここで、$A$と$B$は$a$の式です。

$A*B = (2a+1)(3a-1)$を満たす必要があります。

また、$A+2B = 8a-1$を満たす必要があります。

$A = 2a+1$, $B = 3a-1$とおくと、

$A + 2B = (2a+1) + 2(3a-1) = 2a+1+6a-2 = 8a-1$

となり条件を満たします。

したがって、与式は次のように因数分解できます。

$2x^2 + (8a - 1)x + (6a^2 + a - 1) = (2x + 2a + 1)(x + 3a - 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + 2a + 1)(x + 3a - 1)$