与えられた4つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の最大値・最小値を求めるには、平方完成を行うことが基本的な手順です。平方完成とは、$ax^2 + bx + c$ を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。この形に変形することで、頂点の座標 $(p, q)$ がわかり、 $a > 0$ ならば最小値 $q$ を、$a < 0$ ならば最大値 $q$ をとることがわかります。

(1) $y = x^2 + 8x$

$y = (x^2 + 8x + 16) - 16$

$y = (x + 4)^2 - 16$

この関数は下に凸なので、最小値を持ちます。

最小値は $-16$ (x = $-4$ のとき)

最大値は存在しません。

(2) $y = 2x^2 - 8x + 8$

$y = 2(x^2 - 4x) + 8$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 8$

$y = 2(x - 2)^2$

この関数は下に凸なので、最小値を持ちます。

最小値は $0$ (x = $2$ のとき)

最大値は存在しません。

(3) $y = -x^2 + 2x + 5$

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 5$

$y = -(x - 1)^2 + 6$

この関数は上に凸なので、最大値を持ちます。

最大値は $6$ (x = $1$ のとき)

最小値は存在しません。

(4) $y = -x^2 - 6x - 8$

$y = -(x^2 + 6x) - 8$

$y = -(x^2 + 6x + 9) + 9 - 8$

$y = -(x + 3)^2 + 1$

この関数は上に凸なので、最大値を持ちます。

最大値は $1$ (x = $-3$ のとき)

最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-16$, 最大値: なし

(2) 最小値: $0$, 最大値: なし

(3) 最小値: なし, 最大値: $6$

(4) 最小値: なし, 最大値: $1$