$n$変数の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、$\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ と定義する。 与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ の組に対して、$\sigma f$ を求める。 具体的には以下の4つの問題がある。 (1) $\sigma = (1 \ 2), f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ (2) $\sigma = (1 \ 2 \ 3), f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ (3) $\sigma = (2 \ 3), f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$ (4) $\sigma = (1 \ 2 \ 3), f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$

1. 問題の内容

$n$変数の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、$\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ と定義する。

与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ の組に対して、$\sigma f$ を求める。

具体的には以下の4つの問題がある。

(1) $\sigma = (1 \ 2), f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1 \ 2 \ 3), f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$

(3) $\sigma = (2 \ 3), f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$

(4) $\sigma = (1 \ 2 \ 3), f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$

2. 解き方の手順

置換 $\sigma$ によって変数がどのように入れ替わるかを理解し、$f$ の変数にその入れ替えを適用する。

$\sigma = (a_1 \ a_2 \ ... \ a_k)$ という置換は、$x_{a_1}$ を $x_{a_2}$ に、$x_{a_2}$ を $x_{a_3}$ に、...、$x_{a_k}$ を $x_{a_1}$ に置き換えることを意味する。

(1) $\sigma = (1 \ 2)$ なので、$x_1$ と $x_2$ を入れ替える。

$\sigma f = x_2x_1 + 2x_1 + 3x_3 = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1 \ 2 \ 3)$ なので、$x_1$ を $x_2$ に、$x_2$ を $x_3$ に、$x_3$ を $x_1$ に置き換える。

$\sigma f = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma = (2 \ 3)$ なので、$x_2$ と $x_3$ を入れ替える。

$\sigma f = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(x_3 - x_2) = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma = (1 \ 2 \ 3)$ なので、$x_1$ を $x_2$ に、$x_2$ を $x_3$ に、$x_3$ を $x_1$ に置き換える。

$\sigma f = (x_2 - x_3)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = (x_2 - x_3)(-(x_1 - x_2))(-(x_1 - x_3)) = (x_2 - x_3)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3) = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)=f$

3. 最終的な答え

(1) $\sigma f = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma f = -(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$

(4) $\sigma f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$