与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

次に、この結果から $abc$ を引きます。

$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc - abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

ここで、式を因数分解します。まず、$a$ について整理すると

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] = (b+c)[a^2 + ab + ac + bc]$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c)$

したがって、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$