二次関数 $ax^2 + bx + c$ を平方完成して $a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、$p$ と $q$ を $a$, $b$, $c$ で表す問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $ax^2 + bx + c$ を平方完成して $a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、$p$ と $q$ を $a$, $b$, $c$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$ax^2 + bx + c$ を平方完成します。

ステップ1: $a$ で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

ステップ2: 括弧の中を平方完成します。$x^2 + \frac{b}{a}x$ を平方完成するには、$\frac{b}{2a}$ の二乗を足して引きます。

$x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2$

ステップ3: ステップ2の結果をステップ1の式に代入します。

$a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = a((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

ステップ4: 式を整理します。

$a((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

ステップ5: 定数項をまとめます。

$a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

これで、$a(x-p)^2 + q$ の形になりました。

$p = -\frac{b}{2a}$

$q = \frac{4ac - b^2}{4a}$

3. 最終的な答え

$p = -\frac{b}{2a}$

$q = \frac{4ac - b^2}{4a}$