次の2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を求めなさい。 (1) $y=(x+2)(x-5)$ (2) $y=x^2+x-12$ (3) $y=3x^2+5x+1$ (4) $y=9x^2-6x+1$ (5) $y=2x^2-6x+5$

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を求めなさい。

(1) $y=(x+2)(x-5)$

(2) $y=x^2+x-12$

(3) $y=3x^2+5x+1$

(4) $y=9x^2-6x+1$

(5) $y=2x^2-6x+5$

2. 解き方の手順

2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は、$y=0$ としたときの2次方程式の解である。

(1) $y=(x+2)(x-5)$

$y=0$ とすると、$(x+2)(x-5)=0$

よって、$x+2=0$ または $x-5=0$

$x=-2$ または $x=5$

(2) $y=x^2+x-12$

$y=0$ とすると、$x^2+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

よって、$x+4=0$ または $x-3=0$

$x=-4$ または $x=3$

(3) $y=3x^2+5x+1$

$y=0$ とすると、$3x^2+5x+1=0$

解の公式より、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25-12}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(4) $y=9x^2-6x+1$

$y=0$ とすると、$9x^2-6x+1=0$

$(3x-1)^2 = 0$

$3x-1=0$

$3x=1$

$x=\frac{1}{3}$

(5) $y=2x^2-6x+5$

$y=0$ とすると、$2x^2-6x+5=0$

解の公式より、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(5)}}{2(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{36-40}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{4}$

判別式が負なので、実数解は存在しない。つまり共有点はない。

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 5$

(2) $x = -4, 3$

(3) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(4) $x = \frac{1}{3}$

(5) 実数解なし (共有点なし)