与えられた4つの不等式を解く問題です。 (3) $x^2 - 4x + 1 \leq 0$ (4) $-x^2 + x + 6 > 0$ (5) $16x^2 + 8x + 1 > 0$ (6) $x^2 + 4x + 8 < 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの不等式を解く問題です。

(3) $x^2 - 4x + 1 \leq 0$

(4) $-x^2 + x + 6 > 0$

(5) $16x^2 + 8x + 1 > 0$

(6) $x^2 + 4x + 8 < 0$

2. 解き方の手順

(3) $x^2 - 4x + 1 \leq 0$

まず、$x^2 - 4x + 1 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

よって、$2 - \sqrt{3} \leq x \leq 2 + \sqrt{3}$

(4) $-x^2 + x + 6 > 0$

両辺に-1をかけると、$x^2 - x - 6 < 0$

$(x - 3)(x + 2) < 0$

よって、$-2 < x < 3$

(5) $16x^2 + 8x + 1 > 0$

$(4x + 1)^2 > 0$

$4x + 1 \neq 0$ より、$x \neq -\frac{1}{4}$

よって、$x < -\frac{1}{4}$ または $x > -\frac{1}{4}$

(6) $x^2 + 4x + 8 < 0$

$x^2 + 4x + 8 = (x+2)^2 + 4$

$(x+2)^2 + 4 < 0$

$(x+2)^2$ は常に0以上の値を取るため、$(x+2)^2 + 4$ は常に4以上の値を取ります。

したがって、$x^2 + 4x + 8 < 0$ を満たす $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(3) $2 - \sqrt{3} \leq x \leq 2 + \sqrt{3}$

(4) $-2 < x < 3$

(5) $x < -\frac{1}{4}$ または $x > -\frac{1}{4}$

(6) 解なし