$0^\circ \le x \le 180^\circ$ の範囲で、不等式 $2\sin^2 x + \cos x -1 \le 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0^\circ \le x \le 180^\circ$ の範囲で、不等式 $2\sin^2 x + \cos x -1 \le 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x$ を $1 - \cos^2 x$ で置き換えて、$\cos x$ のみの式にする。

$2\sin^2 x + \cos x - 1 \le 0$

$2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 \le 0$

$2 - 2\cos^2 x + \cos x - 1 \le 0$

$-2\cos^2 x + \cos x + 1 \le 0$

$2\cos^2 x - \cos x - 1 \ge 0$

ここで、$\cos x = t$ とおくと、

$2t^2 - t - 1 \ge 0$

$(2t + 1)(t - 1) \ge 0$

よって、$t \le -\frac{1}{2}$ または $t \ge 1$。

$\cos x \le -\frac{1}{2}$ または $\cos x \ge 1$

$0^\circ \le x \le 180^\circ$ の範囲で考えると、

$\cos x \ge 1$ のとき、$x = 0^\circ$

$\cos x \le -\frac{1}{2}$ のとき、$120^\circ \le x \le 180^\circ$

したがって、$0^\circ \le x \le 180^\circ$ の範囲で、$x = 0^\circ$ または $120^\circ \le x \le 180^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 0^\circ$ または $120^\circ \le x \le 180^\circ$