次の二次関数の最大値または最小値を、指定された範囲内で求めます。 (1) $y = (x-3)^2 + 5$ ($2 \le x \le 5$) (2) $y = -2(x-1)^2 + 3$ ($-1 \le x \le 1$) (3) $y = x^2 + 6x + 8$ ($-2 \le x \le 0$)

はい、承知いたしました。問題文にある3つの二次関数の最大値または最小値を求めます。

1. 問題の内容

次の二次関数の最大値または最小値を、指定された範囲内で求めます。

(1) $y = (x-3)^2 + 5$ ($2 \le x \le 5$)

(2) $y = -2(x-1)^2 + 3$ ($-1 \le x \le 1$)

(3) $y = x^2 + 6x + 8$ ($-2 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-3)^2 + 5$ ($2 \le x \le 5$)

この関数は、頂点が $(3, 5)$ の下に凸な放物線です。範囲 $2 \le x \le 5$ において、頂点 $x = 3$ が範囲に含まれています。したがって、$x = 3$ で最小値をとります。最大値は、範囲の端点でとります。$x = 2$ と $x = 5$ のときの $y$ の値を比較します。

$x = 2$ のとき: $y = (2-3)^2 + 5 = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$

$x = 5$ のとき: $y = (5-3)^2 + 5 = 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9$

よって、$x = 3$ のとき最小値 $5$ をとり、$x = 5$ のとき最大値 $9$ をとります。

(2) $y = -2(x-1)^2 + 3$ ($-1 \le x \le 1$)

この関数は、頂点が $(1, 3)$ の上に凸な放物線です。範囲 $-1 \le x \le 1$ において、頂点 $x = 1$ が範囲に含まれています。したがって、$x = 1$ で最大値をとります。最小値は、範囲の端点でとります。$x = -1$ のときの $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき: $y = -2(-1-1)^2 + 3 = -2(-2)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$

よって、$x = 1$ のとき最大値 $3$ をとり、$x = -1$ のとき最小値 $-5$ をとります。

(3) $y = x^2 + 6x + 8$ ($-2 \le x \le 0$)

まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = x^2 + 6x + 8 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 8 = (x+3)^2 - 1$

この関数は、頂点が $(-3, -1)$ の下に凸な放物線です。範囲 $-2 \le x \le 0$ において、頂点 $x = -3$ は範囲に含まれていません。したがって、範囲の端点で最小値または最大値をとります。

$x = -2$ のとき: $y = (-2)^2 + 6(-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$

$x = 0$ のとき: $y = (0)^2 + 6(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8$

また、軸$x=-3$から最も近い$x=-2$で最小値をとることがわかります。

よって、$x = -2$ のとき最小値 $0$ をとり、$x = 0$ のとき最大値 $8$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $9$ ($x = 5$ のとき)、最小値: $5$ ($x = 3$ のとき)

(2) 最大値: $3$ ($x = 1$ のとき)、最小値: $-5$ ($x = -1$ のとき)

(3) 最大値: $8$ ($x = 0$ のとき)、最小値: $0$ ($x = -2$ のとき)