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与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$，ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$，$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。 (3) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

代数学線形代数行列連立一次方程式逆行列行基本変形
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた行列 A=(13011−1−143)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}，ベクトル x⃗=(xyz)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}，b⃗=(210)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} について、以下の問いに答える問題です。
(1) 連立一次方程式 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} を消去法で解く。
(2) 逆行列 A−1A^{-1} を行基本変形によって求める。
(3) 連立一次方程式 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

2. 解き方の手順

(1) 連立一次方程式 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} を消去法で解く。
拡大係数行列 (A∣b⃗)(A | \vec{b}) を作る。
(A∣b⃗)=(130∣211−1∣1−143∣0)(A | \vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}
1行目を基準に、2行目から1行目を引き、3行目に1行目を足す。
(130∣20−2−1∣−1073∣2)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 7 & 3 & | & 2 \end{pmatrix}
次に、2行目を基準に、3行目から2行目の7/2倍を引く。
(130∣20−2−1∣−100−12∣−32)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & | & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}
よって、
−12z=−32-\frac{1}{2}z = -\frac{3}{2} より z=3z = 3
−2y−z=−1-2y - z = -1 より −2y−3=−1-2y - 3 = -1 なので y=−1y = -1
x+3y=2x + 3y = 2 より x−3=2x - 3 = 2 なので x=5x = 5
したがって x⃗=(5−13)\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
(2) 逆行列 A−1A^{-1} を行基本変形によって求める。
(A∣I)(A | I)の形からスタートする。
(130∣10011−1∣010−143∣001)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
1行目を基準に、2行目から1行目を引き、3行目に1行目を足す。
(130∣1000−2−1∣−110073∣101)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目を基準に、3行目に2行目の7/2倍を足す。
(130∣1000−2−1∣−11000−12∣−52721)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & | & -\frac{5}{2} & \frac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}
3行目を-2倍、2行目を-1倍する。
(130∣100021∣1−10001∣5−7−2)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}
2行目を基準に、1行目から2行目の3/2倍を引く。
(10−32∣−12320021∣1−10001∣5−7−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{3}{2} & | & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}
1行目に3行目の3/2倍を足し、2行目から3行目を引く。
(100∣7−9−3020∣−462001∣5−7−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 7 & -9 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & | & -4 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}
2行目を1/2倍する。
(100∣7−9−3010∣−231001∣5−7−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 7 & -9 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}
よって、A−1=(7−9−3−2315−7−2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}
(3) 連立一次方程式 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} を(2)で求めた逆行列を用いて解く。
x⃗=A−1b⃗\vec{x} = A^{-1} \vec{b}
x⃗=(7−9−3−2315−7−2)(210)=(14−9−4+310−7)=(5−13)\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 - 9 \\ -4 + 3 \\ 10 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) x⃗=(5−13)\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
(2) A−1=(7−9−3−2315−7−2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}
(3) x⃗=(5−13)\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}

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