$(1+x+x^2)^7$ の展開式における、$x^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(1+x+x^2)^7$ の展開式における、$x^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用して展開式を考えます。$(1+x+x^2)^7$ の展開項は、整数 $p, q, r$ で $p+q+r=7$ かつ $p, q, r \geq 0$ を満たすものに対して、

$\frac{7!}{p!q!r!}1^p x^q (x^2)^r = \frac{7!}{p!q!r!}x^{q+2r}$

の形になります。$x^3$ の項の係数を求めるので、$q+2r=3$ となる $p, q, r$ を求めます。

$q+2r=3$ かつ $p+q+r=7$ かつ $p, q, r \geq 0$ を満たす整数の組 $(p, q, r)$ を探します。

$q+2r = 3$ より、

* $r=0$ のとき、$q=3$。このとき、$p = 7 - q - r = 7 - 3 - 0 = 4$。よって、$(p, q, r) = (4, 3, 0)$。

* $r=1$ のとき、$q=1$。このとき、$p = 7 - q - r = 7 - 1 - 1 = 5$。よって、$(p, q, r) = (5, 1, 1)$。

したがって、$x^3$ の項は、

$\frac{7!}{4!3!0!}x^3 + \frac{7!}{5!1!1!}x^3$

と表されます。

それぞれの係数を計算すると、

$\frac{7!}{4!3!0!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$\frac{7!}{5!1!1!} = 7 \times 6 = 42$

よって、$x^3$ の係数は、$35+42=77$ となります。

3. 最終的な答え

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