1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。 (1) 8個から2個を選び箱Aに入れる方法は何通りあるか。 (2) 8個から2個ずつ選び箱A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。また、箱A,Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる方法は何通りあるか。 (3) 箱A,B,Cに入れた玉の数の和をそれぞれa,b,cとする。a,b,cがすべて偶数となる入れ方は何通りあるか。また、a,b,cのうち、少なくとも一つが偶数となる入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。

(1) 8個から2個を選び箱Aに入れる方法は何通りあるか。

(2) 8個から2個ずつ選び箱A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。また、箱A,Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる方法は何通りあるか。

(3) 箱A,B,Cに入れた玉の数の和をそれぞれa,b,cとする。a,b,cがすべて偶数となる入れ方は何通りあるか。また、a,b,cのうち、少なくとも一つが偶数となる入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる2個の玉の選び方は、8個から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いて計算する。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ であり、$n$ は全体の数、$r$ は選ぶ数である。

この場合、$n=8$、$r=2$ なので、

$$8C2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

(2) 3つの箱への入れ方を考える。まず、8個から2個を選び箱Aに入れる。次に、残りの6個から2個を選び箱Bに入れる。最後に、残りの4個から2個を選び箱Cに入れる。それぞれの選び方を掛け合わせる。ただし、箱A,B,Cの順序は区別しないため、箱A,B,Cの並び順の数である $3! = 6$ で割る必要がある。

$$8C2 \times 6C2 \times 4C2 = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} = \frac{8 \times 7}{2} \times \frac{6 \times 5}{2} \times \frac{4 \times 3}{2} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$$

箱A,B,Cの区別をしない場合を考慮すると、最初に $3! = 6$ で割らなければならない。ただし、問題文に「３つの箱への入れ方」とあるので、箱は区別するものとする。

したがって、2520通りとなる。

次に、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる場合を考える。5以下の玉は1,2,3,4,5の5個、6以上の玉は6,7,8の3個である。

箱Cに入れる玉は6,7,8の3個から2個を選ぶ必要があるので、$3C2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

箱Aと箱Bには1,2,3,4,5の5個の玉から2個ずつ選んで入れる。まず、箱Aに5個から2個を選ぶ方法は $5C2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。次に、残りの3個から箱Bに2個を選ぶ方法は $3C2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

したがって、箱A,B,Cへの入れ方は、$3 \times 10 \times 3 = 90$通り。

(3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方を考える。

2つの数の和が偶数になるのは、（偶数,偶数）または（奇数,奇数）の組み合わせの場合である。

1から8の数字のうち、偶数は2,4,6,8の4個、奇数は1,3,5,7の4個である。

箱A, B, Cすべてに(偶数,偶数)を入れる場合、4個の偶数から2個ずつ3つの箱に入れる。

$$4C2 \times 2C2 \times 0C2 = 6 \times 1 \times 0 = 0$$

これは不可能である。

箱A, B, Cすべてに(奇数,奇数)を入れる場合も同様に、4個の奇数から2個ずつ3つの箱に入れる。

$$4C2 \times 2C2 \times 0C2 = 6 \times 1 \times 0 = 0$$

これも不可能である。

a, b, cがすべて偶数となるのは、例えばA:(偶,偶), B:(奇,奇), C:(偶,偶)といったように、偶奇のペアが箱A,B,Cに割り振られる必要がある。これは $3!=6$ 通り。

箱Aが偶数ペアの時、$4C2 = 6$通り。箱Bが奇数ペアの時、$4C2 = 6$通り。箱Cは残った玉で決まるので1通り。合計 $6 \times 6 \times 1 = 36$通り。

偶奇のペアの割り振りが6通りあるので、$36 \times 6 = 216$通り。ただしこれは箱に区別がある場合である。箱の区別をしない場合は、$4C2 \times 4C2 \times 1 / 3! = 36/6 = 6$ はあり得ない。

いずれかの箱に(偶,偶)を入れ、別の箱に(奇,奇)を入れる。さらに、別の箱にも(偶,偶)や(奇,奇)を入れるパターンしかない。しかし偶奇の数は4つずつなので、すべて(偶,偶)または(奇,奇)を入れることはできない。箱A:(偶,偶)のとき、$4C2 = 6$。箱B:(奇,奇)のとき、$4C2 = 6$。残りは偶奇が混ざることはありえない。よって、少なくとも１つの和が偶数となるような場合は216通りである。

次に、a, b, cのうち、少なくとも一つが偶数となるような入れ方を考える。

これは、すべての入れ方から、a, b, cがすべて奇数となる入れ方を引けばよい。2つの数の和が奇数になるのは、（偶数,奇数）の組み合わせの場合である。

箱Aに（偶数、奇数）を入れる場合、箱Bと箱Cも(偶数、奇数)となる必要がある。

箱Aに(偶数、奇数)を入れる方法は、$4 \times 4 = 16$通り。箱Bに入れる場合、残り3つの偶数と3つの奇数から選ぶので、$3 \times 3 = 9$通り。最後に、箱Cに入れる方法は、$2 \times 2 = 4$通り。

したがって、a,b,c全て奇数になる入れ方は$16 \times 9 \times 4 = 576$通り。

組み合わせの順番を考慮すると、576/6 = 96通り。

3つの箱への入れ方は2520通りなので、少なくとも一つが偶数となる入れ方は、$2520-0=2520$通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り、90通り

(3) 216通り、2520通り