確率変数 $X$ の確率分布が与えられたとき、期待値 $E(X)$、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および分散 $V(X)$ を求める問題です。確率分布は以下の表で与えられています。 | X | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|------|------|------|------| | P | 1/10 | 2/10 | 3/10 | 4/10 |

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられたとき、期待値 $E(X)$、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および分散 $V(X)$ を求める問題です。確率分布は以下の表で与えられています。

| X | 1 | 2 | 3 | 4 |

|---|------|------|------|------|

| P | 1/10 | 2/10 | 3/10 | 4/10 |

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E(X)$ を計算します。これは、$X$ の各値とその確率の積の総和です。

$E(X) = \sum_{i=1}^{4} x_i P(x_i)$

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{4}{10}$

次に、$E(X^2)$ を計算します。これは、$X^2$ の各値とその確率の積の総和です。

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{4} x_i^2 P(x_i)$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{10} + 2^2 \cdot \frac{2}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{4}{10}$

最後に、分散 $V(X)$ を計算します。分散は $E(X^2) - [E(X)]^2$ で求められます。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

計算を進めます。

$E(X) = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} + \frac{9}{10} + \frac{16}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$E(X^2) = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} = \frac{100}{10} = 10$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1$

3. 最終的な答え

$E(X) = 3$

$E(X^2) = 10$

$V(X) = 1$