1個のサイコロを10回投げるとき、1または2の目が出る回数 $X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを10回投げるとき、1または2の目が出る回数 $X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。

1回の試行で1または2の目が出る確率 $p$ を求めます。

1つのサイコロを投げるとき、出る目の数は1から6までの6通りです。

そのうち、1または2の目が出るのは2通りなので、$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ となります。

サイコロを投げる回数 $n$ は10回なので、$X$ は二項分布 $B(10, \frac{1}{3})$ に従います。

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は、それぞれ次の式で求められます。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の正の平方根なので、$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ となります。

この問題の場合、$n=10$, $p=\frac{1}{3}$ なので、

$E(X) = 10 \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$V(X) = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{9}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{\sqrt{20}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{10}{3}$

$\sigma(X) = \frac{2\sqrt{5}}{3}$