関数 $f(x) = a(x^2+2x+2)^2 + 2a(x^2+2x+2) + b$ は最小値6をとり、$f(0) = 11$ である。定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = a(x^2+2x+2)^2 + 2a(x^2+2x+2) + b$ は最小値6をとり、$f(0) = 11$ である。定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2+2x+2$ を平方完成します。

$x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1$

$(x+1)^2 \ge 0$ より、 $x^2+2x+2 \ge 1$ となります。

ここで、$t = x^2+2x+2$ とおくと、$t \ge 1$ であり、関数 $f(x)$ は

$f(x) = at^2 + 2at + b = a(t^2+2t) + b = a(t+1)^2 - a + b$ となります。

$f(x) = a(t+1)^2 - a + b = a((x^2+2x+2)+1)^2 - a + b = a(x^2+2x+3)^2 - a + b$

関数 $f(x)$ は最小値6をとるので、$a>0$ である必要があります。

$t \ge 1$ より、$t+1 \ge 2$ であるため、$(t+1)^2 \ge 4$ となり、$a(t+1)^2 \ge 4a$ となります。

よって、$f(x) \ge 4a - a + b = 3a + b$

最小値が6なので、$3a+b=6$

また、$f(0) = 11$ より、

$f(0) = a(0^2+2(0)+2)^2 + 2a(0^2+2(0)+2) + b = a(2)^2 + 2a(2) + b = 4a + 4a + b = 8a + b = 11$

$3a + b = 6$

$8a + b = 11$

上の式を下の式から引くと、

$5a = 5$

$a = 1$

$3(1) + b = 6$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a=1$

$b=3$