ベクトル $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$、$x' = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}$、$x'' = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$(x \times x') \times x''$ と $x \times (x' \times x'')$ を計算せよ。

1. 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$、$x' = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}$、$x'' = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$(x \times x') \times x''$ と $x \times (x' \times x'')$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \times x'$ を計算します。

$x \times x' = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \cdot 6 - 7 \cdot 9 \\ 7 \cdot 2 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 9 - 8 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 48 - 63 \\ 14 - 6 \\ 9 - 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ 8 \\ -7 \end{pmatrix}$

次に、$(x \times x') \times x''$ を計算します。

$(x \times x') \times x'' = \begin{pmatrix} -15 \\ 8 \\ -7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \cdot 5 - (-7) \cdot 4 \\ (-7) \cdot 3 - (-15) \cdot 5 \\ (-15) \cdot 4 - 8 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 + 28 \\ -21 + 75 \\ -60 - 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 68 \\ 54 \\ -84 \end{pmatrix}$

次に、$x' \times x''$ を計算します。

$x' \times x'' = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \cdot 5 - 6 \cdot 4 \\ 6 \cdot 3 - 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 4 - 9 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 - 24 \\ 18 - 10 \\ 8 - 27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 8 \\ -19 \end{pmatrix}$

最後に、$x \times (x' \times x'')$ を計算します。

$x \times (x' \times x'') = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 21 \\ 8 \\ -19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \cdot (-19) - 7 \cdot 8 \\ 7 \cdot 21 - 1 \cdot (-19) \\ 1 \cdot 8 - 8 \cdot 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -152 - 56 \\ 147 + 19 \\ 8 - 168 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -208 \\ 166 \\ -160 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$(x \times x') \times x'' = \begin{pmatrix} 68 \\ 54 \\ -84 \end{pmatrix}$

$x \times (x' \times x'') = \begin{pmatrix} -208 \\ 166 \\ -160 \end{pmatrix}$