2次方程式 $x^2 + (2\cos\theta)x + \sin^2\theta = 0$ が実数解を持つような $\theta$ の範囲を求めます。ただし、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ とします。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (2\cos\theta)x + \sin^2\theta = 0$ が実数解を持つような $\theta$ の範囲を求めます。ただし、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ とします。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ となることです。

この問題では、$a=1$, $b=2\cos\theta$, $c=\sin^2\theta$ ですから、判別式は

$D = b^2 - 4ac = (2\cos\theta)^2 - 4(1)(\sin^2\theta)$

$D = 4\cos^2\theta - 4\sin^2\theta \geq 0$

$\cos^2\theta - \sin^2\theta \geq 0$

$\cos 2\theta \geq 0$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$0^\circ < 2\theta < 360^\circ$ です。

$\cos 2\theta \geq 0$ となるのは、$0^\circ < 2\theta \leq 90^\circ$ または $270^\circ \leq 2\theta < 360^\circ$ のときです。

よって、

$0^\circ < \theta \leq 45^\circ$ または $135^\circ \leq \theta < 180^\circ$

3. 最終的な答え

$0^\circ < \theta \leq 45^\circ$, $135^\circ \leq \theta < 180^\circ$