2次方程式 $3x^2 - (3a+2)x + 2a = 0$ (aは実数) の一つの解が $a-1$ であるとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - (3a+2)x + 2a = 0$ (aは実数) の一つの解が $a-1$ であるとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

解 $x = a - 1$ を与えられた2次方程式に代入すると、

$3(a-1)^2 - (3a+2)(a-1) + 2a = 0$

この式を展開して $a$ について解きます。

$3(a^2 - 2a + 1) - (3a^2 - 3a + 2a - 2) + 2a = 0$

$3a^2 - 6a + 3 - 3a^2 + 3a - 2a + 2 + 2a = 0$

$-3a + 5 = 0$

$3a = 5$

$a = \frac{5}{3}$

$a$ の値を元の二次方程式に代入します。

$3x^2 - (3(\frac{5}{3}) + 2)x + 2(\frac{5}{3}) = 0$

$3x^2 - (5+2)x + \frac{10}{3} = 0$

$3x^2 - 7x + \frac{10}{3} = 0$

全体を3倍します。

$9x^2 - 21x + 10 = 0$

因数分解します。

$(3x - 2)(3x - 5) = 0$

したがって、$x = \frac{2}{3}$ または $x = \frac{5}{3}$。

$x= a-1$ が一つの解なので、 $a - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$。

よって、もう一つの解は $\frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{3}$

もう一つの解: $x = \frac{2}{3}$