$a, b, c$ が $a+b+c=1$, $a^2+b^2+c^2=3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ を満たすとき、次の値を求めよ。 (1) $abc$ (2) $a^3+b^3+c^3-3abc$ (3) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

1. 問題の内容

$a, b, c$ が $a+b+c=1$, $a^2+b^2+c^2=3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ を満たすとき、次の値を求めよ。

(1) $abc$

(2) $a^3+b^3+c^3-3abc$

(3) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c=1$ より、 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 1^2=1$

$a^2+b^2+c^2=3$ より、 $3+2(ab+bc+ca)=1$

$2(ab+bc+ca)=-2$

$ab+bc+ca=-1$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ より、 $\frac{ab+bc+ca}{abc}=1$

$\frac{-1}{abc}=1$

$abc=-1$

(2) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$a+b+c=1$, $a^2+b^2+c^2=3$, $ab+bc+ca=-1$ より、

$a^3+b^3+c^3-3abc = 1(3-(-1)) = 1(3+1) = 4$

(3) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2 - 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ より、 $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=1^2=1$

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} = \frac{a+b+c}{abc} = \frac{1}{-1} = -1$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = 1 - 2(-1) = 1+2 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $abc=-1$

(2) $a^3+b^3+c^3-3abc=4$

(3) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3$