与えられた条件を満たす2次関数を求めます。 (1) 頂点が $(1,2)$ で、点 $(0,4)$ を通る。 (2) 3点 $(2,-1), (0,5), (-1,2)$ を通る。 (3) 軸が $x=-1$ で、2点 $(-2,4), (1,7)$ を通る。

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を始めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求めます。

(1) 頂点が $(1,2)$ で、点 $(0,4)$ を通る。

(2) 3点 $(2,-1), (0,5), (-1,2)$ を通る。

(3) 軸が $x=-1$ で、2点 $(-2,4), (1,7)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(1,2)$ であることから、2次関数は $y = a(x-1)^2 + 2$ と表せる。

この関数が点 $(0,4)$ を通ることから、

$4 = a(0-1)^2 + 2$

$4 = a + 2$

$a = 2$

よって、2次関数は $y = 2(x-1)^2 + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2 = 2x^2 - 4x + 4$ となる。

(2) 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点 $(2,-1), (0,5), (-1,2)$ を通るので、以下の連立方程式が成り立つ。

$4a + 2b + c = -1$

$c = 5$

$a - b + c = 2$

$c = 5$ を代入すると、

$4a + 2b = -6$

$a - b = -3$

$2a + b = -3$

$a - b = -3$

2つの式を足すと、 $3a = -6$ なので、$a = -2$。

$a - b = -3$ より、 $-2 - b = -3$ なので、$b = 1$。

よって、2次関数は $y = -2x^2 + x + 5$ となる。

(3) 軸が $x=-1$ であることから、2次関数は $y = a(x+1)^2 + q$ と表せる。

2点 $(-2,4), (1,7)$ を通るので、以下の連立方程式が成り立つ。

$a(-2+1)^2 + q = 4$

$a(1+1)^2 + q = 7$

$a + q = 4$

$4a + q = 7$

2つの式の差をとると、$3a = 3$ なので、$a = 1$。

$a + q = 4$ より、$1 + q = 4$ なので、$q = 3$。

よって、2次関数は $y = (x+1)^2 + 3 = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x + 4$

(2) $y = -2x^2 + x + 5$

(3) $y = x^2 + 2x + 4$