問題は、n変数の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ が与えられたときに、$\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ で定義される $\sigma f$ を求めるものです。具体的には、$\sigma$ と $f$ の組が4つ与えられており、それぞれについて $\sigma f$ を計算します。

1. 問題の内容

問題は、n変数の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ が与えられたときに、$\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ で定義される $\sigma f$ を求めるものです。具体的には、$\sigma$ と $f$ の組が4つ与えられており、それぞれについて $\sigma f$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\sigma = (1\ 2)$, $f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$

置換 $\sigma = (1\ 2)$ は、$x_1$ と $x_2$ を入れ替える操作です。したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_1, x_3) = x_2 x_1 + 2x_1 + 3x_3 = x_1 x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$

置換 $\sigma = (1\ 2\ 3)$ は、$x_1 \rightarrow x_2, x_2 \rightarrow x_3, x_3 \rightarrow x_1$ という置換を表します。したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = x_2 x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma = (2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

置換 $\sigma = (2\ 3)$ は、$x_2$ と $x_3$ を入れ替える操作です。したがって、

$\sigma f = f(x_1, x_3, x_2) = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(x_3 - x_2) = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

置換 $\sigma = (1\ 2\ 3)$ は、$x_1 \rightarrow x_2, x_2 \rightarrow x_3, x_3 \rightarrow x_1$ という置換を表します。したがって、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = (x_2 - x_3)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = (x_2 - x_3)(-(x_1 - x_2))(-(x_1 - x_3)) = (x_2 - x_3)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$

3. 最終的な答え

(1) $\sigma f = x_1 x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = x_2 x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma f = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$