与えられた2つの命題の真偽を判定する問題です。 命題(1): $a > 3$ または $b > 3$ ならば $ab > 9$ 命題(2): $|x - 4| > 3$ ならば $|x| > 1$

代数学命題真偽判定不等式絶対値
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた2つの命題の真偽を判定する問題です。
命題(1): a>3a > 3 または b>3b > 3 ならば ab>9ab > 9
命題(2): x4>3|x - 4| > 3 ならば x>1|x| > 1

2. 解き方の手順

命題(1)の真偽を判定します。
a>3a > 3 または b>3b > 3 は、aabb の少なくとも一方が3より大きいことを意味します。
しかし、aabb が正の数であるとは限らないため、ab>9ab > 9 が常に成り立つとは限りません。
例えば、a=4a = 4b=1b = 1 の場合、a>3a > 3 ですが、ab=4ab = 4 となり、ab>9ab > 9 は成り立ちません。
また、a=1a = -1b=4b = -4のとき、a>3a > 3またはb>3b > 3は成り立ちませんが、a=4a = 4,b=2b = 2のとき、a>3a>3ab=8ab = 8となり、ab>9ab > 9は成り立ちません。
したがって、命題(1)は偽です。
命題(2)の真偽を判定します。
x4>3|x - 4| > 3 という不等式を解きます。
x4>3x - 4 > 3 または x4<3x - 4 < -3
x>7x > 7 または x<1x < 1
次に、x>1|x| > 1 という不等式を解きます。
x>1x > 1 または x<1x < -1
x>7x > 7 ならば x>1x > 1 が成り立ちます。
x<1x < 1 ならば x<1x < -1 または xx1-1から11の間にある可能性があります。しかしx<1x < 1でもx<1x<-1が成り立たないことはありません。よって、x<1x<1ならば、x>1|x| > 1 が成り立つとは限りません。
x<1x<1のとき、x=0x=0とすると、x=0|x|=0よりx>1|x|>1は成り立ちません。
x4>3|x - 4| > 3を満たすxxは、x>7x > 7またはx<1x < 1
x>1|x| > 1を満たすxxは、x>1x > 1またはx<1x < -1
x>7x > 7の場合、x>1|x| > 1は成り立ちます。
x<1x < 1の場合、x<1x < -1ならば、x>1|x| > 1は成り立ちますが、1x<1-1 \leq x < 1 ならば、x1|x| \leq 1となり、x>1|x|>1は成り立ちません。
例えば、x=0x = 0とすると、04=4>3|0 - 4| = 4 > 3ですが、0=0|0| = 0であり、0>1|0| > 1は成り立ちません。
したがって、命題(2)は偽です。

3. 最終的な答え

命題(1)は偽、命題(2)は偽

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