関数 $y = 2\sin{\theta} + 2\cos^2{\theta} - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値、およびそれらを与える $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin{\theta} + 2\cos^2{\theta} - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値、およびそれらを与える $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を $\sin{\theta}$ のみで表すことを目指します。$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ を用いると、

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y = 2\sin{\theta} + 2(1 - \sin^2{\theta}) - 1 = 2\sin{\theta} + 2 - 2\sin^2{\theta} - 1 = -2\sin^2{\theta} + 2\sin{\theta} + 1

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ここで、$t = \sin{\theta}$ と置くと、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ より $-1 \leq \sin{\theta} \leq 1$ なので、$-1 \leq t \leq 1$ となります。

したがって、$y = -2t^2 + 2t + 1$ であり、この $-1 \leq t \leq 1$ における最大値と最小値を求めます。

$y = -2t^2 + 2t + 1$ を平方完成すると、

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y = -2(t^2 - t) + 1 = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1 = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}

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よって、$y = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$ となり、$t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ を取ります。

このとき、$\sin{\theta} = \frac{1}{2}$ であり、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

次に、$t = -1$ のとき $y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$ であり、$t = 1$ のとき $y = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$ となります。したがって、$t = -1$ のとき最小値 $-3$ を取ります。

このとき、$\sin{\theta} = -1$ であり、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値: $-3$ ($\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき)