50人のクラスで、メガネをかけているかどうかを調査した結果が表で与えられている。このクラスから1人を選んだとき、以下の確率を求めよ。 (1) 選ばれた人が女性であるとき、その人がメガネをかけている確率 (2) 選ばれた人がメガネをかけているとき、その人が女性である確率 (3) 選ばれた人が男性であるとき、その人がメガネをかけている確率

## 問題7

1. 問題の内容

50人のクラスで、メガネをかけているかどうかを調査した結果が表で与えられている。このクラスから1人を選んだとき、以下の確率を求めよ。

(1) 選ばれた人が女性であるとき、その人がメガネをかけている確率

(2) 選ばれた人がメガネをかけているとき、その人が女性である確率

(3) 選ばれた人が男性であるとき、その人がメガネをかけている確率

2. 解き方の手順

(1) 女性が選ばれる事象を$A$、メガネをかけている事象を$B$とする。求めたい確率は条件付き確率 $P(B|A)$ である。これは、女性の人数に対するメガネをかけている女性の割合で求められる。

$P(B|A) = \frac{\text{メガネをかけている女性の人数}}{\text{女性の人数}}$

(2) メガネをかけている事象を$B$、女性が選ばれる事象を$A$とする。求めたい確率は条件付き確率 $P(A|B)$ である。これは、メガネをかけている人の人数に対するメガネをかけている女性の割合で求められる。

$P(A|B) = \frac{\text{メガネをかけている女性の人数}}{\text{メガネをかけている人の人数}}$

(3) 男性が選ばれる事象を$C$、メガネをかけている事象を$B$とする。求めたい確率は条件付き確率 $P(B|C)$ である。これは、男性の人数に対するメガネをかけている男性の割合で求められる。

$P(B|C) = \frac{\text{メガネをかけている男性の人数}}{\text{男性の人数}}$

3. 最終的な答え

(1) $P(B|A) = \frac{3}{20} = 0.15$

(2) $P(A|B) = \frac{3}{3+9} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$

(3) $P(B|C) = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0.3$

## 問題8

1. 問題の内容

1から9までの番号をつけた9枚のカードから1枚を取り出す試行を考える。

事象A: 取り出したカードの番号が奇数

事象B: 取り出したカードの番号が3の倍数

(1) P(A), P(B)を求めよ。

(2) 取り出したカードが奇数であることがわかっているとき、その番号が3の倍数である確率P(B|A)を求めよ。

(3) 取り出したカードが3の倍数であることがわかっているとき、その番号が奇数である確率P(A|B)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) P(A)は奇数のカードの枚数を全体のカードの枚数で割る。奇数のカードは1, 3, 5, 7, 9の5枚。

$P(A) = \frac{5}{9}$

P(B)は3の倍数のカードの枚数を全体のカードの枚数で割る。3の倍数のカードは3, 6, 9の3枚。

$P(B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(2) P(B|A)は、奇数のカードの中で3の倍数であるカードの割合。奇数のカードは1, 3, 5, 7, 9の5枚。そのうち3の倍数は3, 9の2枚。

$P(B|A) = \frac{2}{5}$

(3) P(A|B)は、3の倍数のカードの中で奇数であるカードの割合。3の倍数のカードは3, 6, 9の3枚。そのうち奇数は3, 9の2枚。

$P(A|B) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $P(A) = \frac{5}{9}$, $P(B) = \frac{1}{3}$

(2) $P(B|A) = \frac{2}{5}$

(3) $P(A|B) = \frac{2}{3}$

## 問題9

1. 問題の内容

2変量データXとYについて、共分散と相関係数を求めよ。

| X | 8 | 5 | 4 | 6 | 2 |

|---|---|---|---|---|---|

| Y | 9 | 7 | 5 | 6 | 3 |

2. 解き方の手順

(1) まず、XとYの平均値を計算する。

$\bar{X} = \frac{8+5+4+6+2}{5} = \frac{25}{5} = 5$

$\bar{Y} = \frac{9+7+5+6+3}{5} = \frac{30}{5} = 6$

次に、各データ点について、XとYの偏差 $(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ を計算する。

$(8-5)(9-6) = 3 \times 3 = 9$

$(5-5)(7-6) = 0 \times 1 = 0$

$(4-5)(5-6) = -1 \times -1 = 1$

$(6-5)(6-6) = 1 \times 0 = 0$

$(2-5)(3-6) = -3 \times -3 = 9$

共分散は、偏差の積の平均値である。

$\text{Cov}(X,Y) = \frac{9+0+1+0+9}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$

(2) 相関係数は、共分散をXとYの標準偏差の積で割ったものである。

まず、XとYの分散を計算する。

$\text{Var}(X) = \frac{(8-5)^2 + (5-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (2-5)^2}{5} = \frac{9+0+1+1+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

$\text{Var}(Y) = \frac{(9-6)^2 + (7-6)^2 + (5-6)^2 + (6-6)^2 + (3-6)^2}{5} = \frac{9+1+1+0+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

次に、XとYの標準偏差を計算する。

$\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{4} = 2$

$\sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{4} = 2$

相関係数は、

$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{3.8}{2 \times 2} = \frac{3.8}{4} = 0.95$

3. 最終的な答え

(1) 共分散: 3.8

(2) 相関係数: 0.95

## 問題10

正規分布表を用いて問題を解く必要があります。正規分布表が手元にないため、解答を導き出すことができません。

## 問題11

正規分布表を用いて問題を解く必要があります。正規分布表が手元にないため、解答を導き出すことができません。

## 問題12

1. 問題の内容

全国の勤労世帯の月収を調べるために、2500世帯を抽出し、その月収を調査したところ、平均 $\bar{x} = 235,500$ 円、標準偏差 $u = 35,000$ 円であった。全国の勤労世帯の月収の平均に対する信頼係数 95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母標準偏差が既知の場合の母平均の信頼区間は、以下の式で求められる。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{u}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{u}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$ は標本平均

$u$ は母標準偏差

$n$ は標本サイズ

$z_{\alpha/2}$ は信頼係数に対応する標準正規分布のパーセント点である。

信頼係数95%の場合、$z_{\alpha/2}=1.96$である。

与えられた値:

$\bar{x} = 235,500$

$u = 35,000$

$n = 2500$

$z_{\alpha/2} = 1.96$

信頼区間を計算する。

下限: $235,500 - 1.96 \times \frac{35,000}{\sqrt{2500}} = 235,500 - 1.96 \times \frac{35,000}{50} = 235,500 - 1.96 \times 700 = 235,500 - 1372 = 234,128$

上限: $235,500 + 1.96 \times \frac{35,000}{\sqrt{2500}} = 235,500 + 1.96 \times \frac{35,000}{50} = 235,500 + 1.96 \times 700 = 235,500 + 1372 = 236,872$

3. 最終的な答え

信頼係数95%の信頼区間は、$234,128 \le \mu \le 236,872$ である。