A, B, Cの3つの箱に玉が入っている。Aには赤玉が3個、白玉が5個入っており、それぞれの玉には異なる数字が書かれているため区別できる。Bには7個、Cには8個の異なる玉が入っている。Aから赤玉を引いた場合、次にBから2個の玉を取り出す。Aから白玉を引いた場合、次にCから3個の玉を取り出す。玉の取り出し方は全部で何通りか。

1. 問題の内容

A, B, Cの3つの箱に玉が入っている。Aには赤玉が3個、白玉が5個入っており、それぞれの玉には異なる数字が書かれているため区別できる。Bには7個、Cには8個の異なる玉が入っている。Aから赤玉を引いた場合、次にBから2個の玉を取り出す。Aから白玉を引いた場合、次にCから3個の玉を取り出す。玉の取り出し方は全部で何通りか。

2. 解き方の手順

Aから赤玉を引く場合と白玉を引く場合で場合分けして考える。

* Aから赤玉を引く場合

* Aから赤玉を1つ引く方法は3通り。

* Bから2つの玉を取り出す方法は、7個の中から2個を選ぶ組み合わせなので $_7C_2$通り。

* したがって、Aから赤玉を引いた場合に玉を取り出す方法は、$3 \times _7C_2$通り。

* Aから白玉を引く場合

* Aから白玉を1つ引く方法は5通り。

* Cから3つの玉を取り出す方法は、8個の中から3個を選ぶ組み合わせなので $_8C_3$通り。

* したがって、Aから白玉を引いた場合に玉を取り出す方法は、$5 \times _8C_3$通り。

それぞれの組み合わせの数を計算する。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

Aから赤玉を引く場合は、$3 \times 21 = 63$通り。

Aから白玉を引く場合は、$5 \times 56 = 280$通り。

求める玉の取り出し方は、Aから赤玉を引く場合と白玉を引く場合を合わせたものなので、$63 + 280$を計算する。

3. 最終的な答え

$63 + 280 = 343$

玉の取り出し方は全部で343通り。