(1) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算する。 (2) (1)の結果を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算する。

(2) (1)の結果を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を計算する。

$(a+b)^3$ を展開すると、

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

よって、

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2$

$= a^3 + b^3$

(2) (1)の結果を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

(1)より、$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ である。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a^3 + b^3) + c^3 - 3abc$

$= (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

ここで、$(a+b) = X$ とおくと、

$X^3 + c^3 - 3abX - 3abc$

$= (X+c)(X^2 - Xc + c^2) - 3ab(X+c)$

$= (X+c)(X^2 - Xc + c^2 - 3ab)$

$X = (a+b)$ を代入すると、

$= (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3$

(2) $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$