第2項が2、初項から第3項までの和が7である公比が1より大きい等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

第2項が2、初項から第3項までの和が7である公比が1より大きい等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とします。

第2項が2なので、

$ar = 2$ ...(1)

初項から第3項までの和が7なので、

$a + ar + ar^2 = 7$ ...(2)

(1)より $a = \frac{2}{r}$ なので、(2)に代入すると

$\frac{2}{r} + 2 + 2r = 7$

$\frac{2}{r} + 2r = 5$

両辺に $r$ をかけると

$2 + 2r^2 = 5r$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$(2r-1)(r-2) = 0$

$r = \frac{1}{2}, 2$

公比が1より大きいので、$r = 2$

(1)より $a = \frac{2}{r} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、初項 $a = 1$、公比 $r = 2$ の等比数列の初項から第$n$項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$S_n = 2^n - 1$