与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。ただし、$A^{-1}$ を $X = \begin{pmatrix} x & s & p \\ y & t & q \\ z & u & r \end{pmatrix}$ とおく。$Ax=e_1, As=e_2, Ap=e_3$となる$x,y,z,s,t,u,p,q,r$を求める。ここで、$e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$である。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。ただし、$A^{-1}$ を $X = \begin{pmatrix} x & s & p \\ y & t & q \\ z & u & r \end{pmatrix}$ とおく。$Ax=e_1, As=e_2, Ap=e_3$となる$x,y,z,s,t,u,p,q,r$を求める。ここで、$e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$である。

2. 解き方の手順

まず、拡大行列 $(A|I)$ を作る。ここで、$I$ は3次の単位行列である。

$(A|I) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この拡大行列に対して行基本変形を行い、$A$ を単位行列 $I$ に変形する。

行基本変形は、

(1) ある行を定数倍する。

(2) ある行に別の行の定数倍を加える。

(3) 2つの行を入れ替える。

1. 2行目から1行目の2倍を引く。3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -4 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -4 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 2行目に -1 をかける。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -4 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

4. 3行目に2行目の5倍を加える。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

5. 1行目から2行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

6. 2行目から3行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

これにより、$(I|A^{-1})$ の形になったので、逆行列 $A^{-1}$ が求まる。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$