次の2つの不等式を証明します。 (1) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ (2) $x^2 - 6x + 10 > 0$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を証明します。

(1) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$

(2) $x^2 - 6x + 10 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ を証明する。

左辺を因数分解します。

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

したがって、$(x-2)^2 \ge 0$ となります。

実数の2乗は常に0以上であるため、この不等式は常に成立します。

(2) $x^2 - 6x + 10 > 0$ を証明する。

左辺を平方完成します。

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$

したがって、$(x-3)^2 + 1 > 0$ となります。

実数の2乗は常に0以上であるため、$(x-3)^2 \ge 0$ です。

したがって、$(x-3)^2 + 1 \ge 1 > 0$ となり、この不等式は常に成立します。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ は、$(x-2)^2 \ge 0$ となり、常に成立する。

(2) $x^2 - 6x + 10 > 0$ は、$(x-3)^2 + 1 > 0$ となり、常に成立する。