問題は、まず $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ が与えられたときに、$a$ の分母を有理化し、簡単にすることです。次に、$a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、まず $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ が与えられたときに、$a$ の分母を有理化し、簡単にすることです。次に、$a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化するには、分母の共役な式 $3+2\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$

$a = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}$

$a = \frac{3+2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}$

$a = \frac{3+2\sqrt{2}}{9 - 8}$

$a = \frac{3+2\sqrt{2}}{1}$

$a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求める。

まず、$2\sqrt{2}$ のおおよその値を考えます。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828$ となります。

したがって、$a = 3 + 2\sqrt{2} \approx 3 + 2.828 = 5.828$ であることがわかります。

$a$ の整数部分は 5 なので、小数部分 $b$ は $a$ から整数部分を引いたものです。

$b = a - 5 = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

(3) $a^2 - b^2$ の値を求める。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 1 + 4\sqrt{2}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 2) = 5$

$a^2 - b^2 = (1 + 4\sqrt{2}) \times 5 = 5 + 20\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$

(3) $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$