初項から第3項までの和が-6、第4項から第6項までの和が48である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が-6、第4項から第6項までの和が48である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とします。

初項から第3項までの和は

$S_3 = a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = -6$ ...(1)

第4項から第6項までの和は

$a_4 + a_5 + a_6 = ar^3 + ar^4 + ar^5 = ar^3(1 + r + r^2) = 48$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{ar^3(1+r+r^2)}{a(1+r+r^2)} = \frac{48}{-6}$

$r^3 = -8$

$r = -2$ (公比は実数なので)

$r = -2$ を (1) に代入すると、

$a(1 + (-2) + (-2)^2) = -6$

$a(1 - 2 + 4) = -6$

$3a = -6$

$a = -2$

よって、一般項は

$a_n = ar^{n-1} = (-2)(-2)^{n-1} = (-2)^n$

3. 最終的な答え

$a_n = (-2)^n$