複素数 $\alpha = 1+i$ と $\beta = 5+3i$ が与えられている。 (1) 点 $\alpha$ を原点Oを中心として $-\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数を求める。 (2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1+i$ と $\beta = 5+3i$ が与えられている。

(1) 点 $\alpha$ を原点Oを中心として $-\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数を求める。

(2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $\alpha$ を原点Oを中心として $-\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数を $\alpha'$ とすると、

$\alpha' = \alpha \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}} = \alpha (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2})) = \alpha (0 - i) = -i \alpha$

$\alpha = 1+i$ なので、

$\alpha' = -i(1+i) = -i - i^2 = -i - (-1) = 1-i$

(2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数を $\beta'$ とする。

$\beta$ を $\alpha$ を中心として回転させるには、まず $\beta$ を $\alpha$ を中心とするように平行移動し、回転させた後、$\alpha$ だけ平行移動する。

すなわち、$\beta' = (\beta - \alpha)e^{i\frac{\pi}{6}} + \alpha$

$\beta - \alpha = (5+3i) - (1+i) = 4+2i$

$e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$(\beta - \alpha)e^{i\frac{\pi}{6}} = (4+2i)(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} + 2i + i\sqrt{3} - 1 = (2\sqrt{3}-1) + i(2+\sqrt{3})$

$\beta' = (2\sqrt{3}-1) + i(2+\sqrt{3}) + (1+i) = 2\sqrt{3} + i(3+\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $1-i$

(2) $2\sqrt{3} + (3+\sqrt{3})i$