問題A：頂点が(1, 8)で、x軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。 問題B： (I) 問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもの (II) x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6を満たす (III) 点(1, 10)を通る 上記3条件を満たす2次関数を求める。

1. 問題の内容

問題A：頂点が(1, 8)で、x軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。

問題B：

(I) 問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもの

(II) x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6を満たす

(III) 点(1, 10)を通る

上記3条件を満たす2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 問題Aについて:

花子の発言から、点(1, 0)から2点A, Bは等距離にあるので、点A, Bのx座標が分かり、求める2次関数のグラフの概形は上に凸のグラフである。したがって、(ア)に当てはまるグラフは4である。

太郎の発言から、求める2次関数は$y = a(x - (1+2))(x - (1-2)) = a(x+1)(x-3)$とおける。よって、(イ)は-1、(ウ)は3となる。

花子の発言から、2次関数$y = a(x+1)(x-3)$が点(1, 8)を通るので、$8 = a(1+1)(1-3) = a(2)(-2) = -4a$となり、$a = -2$となる。よって、(エ)は-2である。

(2) 問題Bについて:

(i) 太郎の発言から、問題Bで求める2次関数のグラフの軸は直線$x = p$であり、(II)よりx軸との交点のx座標は$p \pm \frac{6}{2} = p \pm 3$となる。したがって、(オ)は$p+3$、(カ)は$p-3$となる。ただし、(カ) < (オ)とする。

(ii) 問題Bを解く：

問題Aで求めた2次関数は$y = -2(x+1)(x-3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$である。

問題Bの条件(I)より、求める2次関数は$y = -2(x-p)^2 + q$とおける。

条件(II)より、$y = -2(x-p)^2 + q = 0$の解は$p \pm 3$なので、

$-2(p+3-p)^2 + q = 0$より、$-2(3)^2 + q = 0$、したがって、$q=18$となる。

よって、$y = -2(x-p)^2 + 18$である。

条件(III)より、点(1, 10)を通るので、$10 = -2(1-p)^2 + 18$となる。

$-2(1-p)^2 = -8$より、$(1-p)^2 = 4$となる。

$1-p = \pm 2$より、$p = 1 \pm 2$なので、$p = 3, -1$となる。

したがって、求める2次関数は$y = -2(x-3)^2 + 18$または$y = -2(x+1)^2 + 18$となる。

$y = -2(x-3)^2 + 18 = -2(x^2 - 6x + 9) + 18 = -2x^2 + 12x - 18 + 18 = -2x^2 + 12x$

$y = -2(x+1)^2 + 18 = -2(x^2 + 2x + 1) + 18 = -2x^2 - 4x - 2 + 18 = -2x^2 - 4x + 16$

したがって、$y = -2x^2 + 12x$または$y = -2x^2 - 4x + 16$となる。

3. 最終的な答え

(ア): 4

(イ): -1

(ウ): 3

(エ): -2

(オ): $p+3$

(カ): $p-3$

問題B: $y = -2x^2 + 12x$または$y = -2x^2 - 4x + 16$