初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が-63である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が-63である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$r \neq 1$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき、

$S_n = na$

で表される。

問題文より、

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 9$

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = -63$

ただし、 $r \neq 1$ とする。$r=1$のときは、$S_3 = 3a = 9$、$S_6 = 6a = -63$となるので、$a=3$かつ$a=-63/6 = -21/2$となり矛盾するので、$r \neq 1$である。

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 1+r^3 = \frac{-63}{9} = -7$

よって、

$r^3 = -8$

$r$ は実数なので、$r = -2$

$S_3 = \frac{a(1-(-2)^3)}{1-(-2)} = \frac{a(1-(-8))}{3} = \frac{9a}{3} = 3a = 9$

よって、$a = 3$

したがって、等比数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = ar^{n-1} = 3(-2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3(-2)^{n-1}$