平面 $r = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ に垂直な直線で、点 $(1, 1, 1)$ を通るもののベクトル方程式を求め、さらにその直線の標準形を求める。

1. 問題の内容

平面 $r = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ に垂直な直線で、点 $(1, 1, 1)$ を通るもののベクトル方程式を求め、さらにその直線の標準形を求める。

2. 解き方の手順

まず、平面の法線ベクトルを求める。平面上の2つのベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の外積を計算することで法線ベクトルを得る。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1) - (-1)(2) \\ (-1)(1) - (1)(1) \\ (1)(2) - (0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

法線ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ は、求める直線の方向ベクトルとなる。簡単にするために $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を方向ベクトルとして使用する。

点 $(1, 1, 1)$ を通る直線のベクトル方程式は、

$r = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表される。ここで $u$ はパラメータである。

次に、この直線の標準形を求める。

$r = \begin{pmatrix} 1 + u \\ 1 - u \\ 1 + u \end{pmatrix}$ より、

$x = 1 + u$

$y = 1 - u$

$z = 1 + u$

$u = x - 1$ を他の式に代入すると、

$y = 1 - (x - 1) = 2 - x$

$z = 1 + (x - 1) = x$

従って、標準形は

$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{1}$

つまり、$x-1 = -(y-1) = z-1$.

3. 最終的な答え

ベクトル方程式: $r = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

標準形: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{1}$