## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $y = 4^x - 8 \cdot 2^x + 10$ の $0 \le x \le 1$ における最小値と最大値を求めよ。

(2) 対数方程式 $\log_9 x - \frac{1}{2} \log_3 (x+2) = \frac{1}{2}$ の解を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) 関数の最大値・最小値**

1. $2^x = t$ と置換すると、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ となる。$0 \le x \le 1$ より、$2^0 \le 2^x \le 2^1$ なので、$1 \le t \le 2$ である。

2. $y$ を $t$ で表すと、

$y = t^2 - 8t + 10$

となる。

3. $y$ を平方完成すると、

$y = (t-4)^2 - 6$

となる。

4. $1 \le t \le 2$ の範囲で $y$ の最大値と最小値を求める。

軸 $t=4$ はこの範囲に含まれないので、$t=1$ で最大値、$t=2$ で最小値をとる。

5. $t=1$ のとき、$y = (1-4)^2 - 6 = 9 - 6 = 3$

$t=2$ のとき、$y = (2-4)^2 - 6 = 4 - 6 = -2$

**(2) 対数方程式**

1. 対数の底を3に統一する。$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$ である。

したがって、与えられた方程式は、

$\frac{1}{2}\log_3 x - \frac{1}{2}\log_3 (x+2) = \frac{1}{2}$

となる。

2. 両辺に2を掛けると、

$\log_3 x - \log_3 (x+2) = 1$

となる。

3. 対数の性質 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ を用いると、

$\log_3 \frac{x}{x+2} = 1$

となる。

4. 対数の定義より、

$\frac{x}{x+2} = 3^1 = 3$

5. 両辺に $(x+2)$ を掛けると、

$x = 3(x+2)$

$x = 3x + 6$

$-2x = 6$

$x = -3$

6. 対数の真数は正である必要がある。

$\log_9 x$ が定義されるためには $x > 0$ が必要であり、$\log_3 (x+2)$ が定義されるためには $x+2 > 0$ つまり $x > -2$ が必要である。

したがって、$x > 0$ が必要だが、$x = -3$ はこれに反するので解ではない。

7. よって、解なし。

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3. 最終的な答え

(1) 最小値は -2, 最大値は 3

(2) 解なし