関数 $y = -\sqrt{x-2}$ の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sqrt{x-2}$ の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた関数を $x$ について解く。

まず、与えられた関数は $y = -\sqrt{x-2}$ です。

両辺を2乗すると、

$y^2 = (-\sqrt{x-2})^2$

$y^2 = x - 2$

$x = y^2 + 2$

(2) $x$ と $y$ を入れ替える。

$x = y^2 + 2$ において、$x$ と $y$ を入れ替えると、逆関数が得られます。

$y = x^2 + 2$

(3) 定義域を確認する。

元の関数の定義域は、$x-2 \ge 0$ より、$x \ge 2$ です。

元の関数の値域は、$y = -\sqrt{x-2} \le 0$ より、$y \le 0$ です。

したがって、逆関数の定義域は、$x \le 0$ となります。

したがって、逆関数は $y = x^2 + 2$ ($x \le 0$) です。

3. 最終的な答え

$y = x^2 + 2$ ($x \le 0$)