与えられた式 $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$ を計算します。

2. 解き方の手順

この式は $(A+B)(A-B)$ の形をしているので、和と差の積の公式 $A^2 - B^2$ を利用して計算できます。

ここで、$A = 1 + \sqrt{2}$、$B = \sqrt{3}$ とおきます。

すると、与えられた式は次のように変形できます。

$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

$A^2 = (1+\sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$

$B^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

したがって、

$A^2 - B^2 = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$