(7) 2次関数 $y = x^2 - ax + a^2 - 5a + 2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を $a$ を用いて表す。ただし、$1 \le a \le 2$ である。 (8) 2次関数 $y = x^2 + (k-2)x + k^2 - 5k + 6$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、とり得る定数 $k$ の値をすべて求める。 (9) 連立不等式 $\begin{cases} -x + 2 > 2x - 7 \\ a < x + 2 \end{cases}$ の解 $x$ が存在するための定数 $a$ の条件を求める。

1. 問題の内容

(7) 2次関数 $y = x^2 - ax + a^2 - 5a + 2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を $a$ を用いて表す。ただし、$1 \le a \le 2$ である。

(8) 2次関数 $y = x^2 + (k-2)x + k^2 - 5k + 6$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、とり得る定数 $k$ の値をすべて求める。

(9) 連立不等式

$\begin{cases}

-x + 2 > 2x - 7 \\

a < x + 2

\end{cases}$

の解 $x$ が存在するための定数 $a$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

(7)

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - ax + a^2 - 5a + 2 = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + a^2 - 5a + 2 = (x - \frac{a}{2})^2 + \frac{3}{4}a^2 - 5a + 2$

軸は $x = \frac{a}{2}$ であり、$1 \le a \le 2$ より、$\frac{1}{2} \le \frac{a}{2} \le 1$ となる。したがって、軸は $0 \le x \le 1$ の範囲に含まれる。

最小値は、軸 $x = \frac{a}{2}$ でとる。

最小値は、$y = \frac{3}{4}a^2 - 5a + 2$ となる。

(8)

2次関数 $y = x^2 + (k-2)x + k^2 - 5k + 6$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (k-2)^2 - 4(k^2 - 5k + 6) = k^2 - 4k + 4 - 4k^2 + 20k - 24 = -3k^2 + 16k - 20 = 0$

$3k^2 - 16k + 20 = 0$

$(3k - 10)(k - 2) = 0$

$k = \frac{10}{3}, 2$

(9)

連立不等式を解く。

$-x + 2 > 2x - 7$

$-3x > -9$

$x < 3$

$a < x + 2$

$x > a - 2$

連立不等式の解が存在するためには、$a - 2 < 3$ である必要がある。

$a < 5$

3. 最終的な答え

(7) 最小値：$\frac{3}{4}a^2 - 5a + 2$

(8) $k = 2, \frac{10}{3}$

(9) $a < 5$