A, Bの2人がサイコロを振るゲームを行う。2以下の目が出たらAの勝ち、3以上の目が出たらBの勝ちとする。先に3勝した方が優勝とする。 (1) ゲームを4回繰り返したとき、Aが2勝しBが2勝する確率を求めよ。 (2) 4戦目でAの優勝が決まる確率を求めよ。 (3) Aが優勝する確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

A, Bの2人がサイコロを振るゲームを行う。2以下の目が出たらAの勝ち、3以上の目が出たらBの勝ちとする。先に3勝した方が優勝とする。

(1) ゲームを4回繰り返したとき、Aが2勝しBが2勝する確率を求めよ。

(2) 4戦目でAの優勝が決まる確率を求めよ。

(3) Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Aが1回のゲームで勝つ確率とBが1回のゲームで勝つ確率を求める。サイコロの目が2以下である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ なので、Aが1回のゲームで勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。同様に、サイコロの目が3以上である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ なので、Bが1回のゲームで勝つ確率は $\frac{2}{3}$ である。

(1) 4回のゲームでAが2勝しBが2勝する確率は、二項分布で考えることができる。4回の試行のうち、Aが2回勝つ確率を求める。

確率は、

${}_4 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = \frac{4!}{2!2!} \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

(2) 4戦目でAの優勝が決まる場合、3戦目までにAが2勝し、4戦目でAが勝つ必要がある。3戦目までにAが2勝1敗となる確率は、

${}_3 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

4戦目でAが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ なので、4戦目でAの優勝が決まる確率は、

$\frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

(3) Aが優勝する確率は、Aが3回目で優勝する場合、4回目で優勝する場合、5回目で優勝する場合を足し合わせることで求める。

Aが3回目で優勝する確率は、Aが3連勝する確率なので、$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Aが4回目で優勝する確率は、3回目までにAが2勝1敗で、4回目でAが勝つ確率なので、$\frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

Aが5回目で優勝する確率は、4回目までにAが2勝2敗で、5回目でAが勝つ確率である。4回目までにAが2勝2敗である確率は $\frac{8}{27}$ なので、5回目でAが優勝する確率は $\frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$

したがって、Aが優勝する確率は、

$\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{27}$

(2) $\frac{2}{27}$

(3) $\frac{17}{81}$