空間$R^3$内の点 $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を、$p = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $q = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の張る平面に垂直な方向に分解する問題です。$p$ と $q$ は直交しており、$a$ を $p$ と $q$ の方向に射影した成分を計算し、それらを使って $a$ を直交分解します。具体的には、 (1) $(a, p') p' = (a, \frac{p}{|p|}) \frac{p}{|p|} = (1) p$ (2) $(a, q') q' = (a, \frac{q}{|q|}) \frac{q}{|q|} = (2) q$ となる (1), (2) を求め、最後に $r = a - (1)p - (2)q$ を計算することで、 $a = (1)p + (2)q + r$ という分解を得ます。

1. 問題の内容

空間$R^3$内の点 $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を、$p = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $q = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の張る平面に垂直な方向に分解する問題です。$p$ と $q$ は直交しており、$a$ を $p$ と $q$ の方向に射影した成分を計算し、それらを使って $a$ を直交分解します。具体的には、

(1) $(a, p') p' = (a, \frac{p}{|p|}) \frac{p}{|p|} = (1) p$

(2) $(a, q') q' = (a, \frac{q}{|q|}) \frac{q}{|q|} = (2) q$

となる (1), (2) を求め、最後に $r = a - (1)p - (2)q$ を計算することで、 $a = (1)p + (2)q + r$ という分解を得ます。

2. 解き方の手順

まず、 $p$ と $q$ のノルムを計算します。

$|p| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

$|q| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$

次に、$a$ と $p$ の内積、$a$ と $q$ の内積を計算します。

$a \cdot p = (1)(2) + (1)(1) + (3)(1) = 2+1+3 = 6$

$a \cdot q = (1)(0) + (1)(1) + (3)(-1) = 0+1-3 = -2$

(1) の計算を行います。

$(a, p')p' = (a, \frac{p}{|p|}) \frac{p}{|p|} = \frac{a \cdot p}{|p|^2} p = \frac{6}{6} p = 1 \cdot p$

よって、(1) = 1

(2) の計算を行います。

$(a, q')q' = (a, \frac{q}{|q|}) \frac{q}{|q|} = \frac{a \cdot q}{|q|^2} q = \frac{-2}{2} q = -1 \cdot q$

よって、(2) = -1

最後に、$r$ を計算します。

$r = a - (1)p - (2)q = a - (1)p - (-1)q = a - p + q = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2+0 \\ 1-1+1 \\ 3-1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) = 1

(2) = -1

$r = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$