集合 $A = \{2, a+1, a+2\}$、集合 $B = \{-4, a-1, 8-a\}$ が与えられており、$A \cap B = \{2, 5\}$ であるとき、$a$ の値と $A \cup B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

集合 $A = \{2, a+1, a+2\}$、集合 $B = \{-4, a-1, 8-a\}$ が与えられており、$A \cap B = \{2, 5\}$ であるとき、$a$ の値と $A \cup B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{2, 5\}$ であることから、集合 $A$ と $B$ の両方に $2$ と $5$ が含まれていることがわかります。

$A$ は $\{2, a+1, a+2\}$ であるので、

(i) $a+1 = 5$ の場合、 $a = 4$ となります。このとき、$A = \{2, 5, 6\}$、$B = \{-4, 3, 4\}$ となり、$A \cap B = \{ \}$ となるため、$A \cap B = \{2, 5\}$ を満たしません。

(ii) $a+2 = 5$ の場合、 $a = 3$ となります。このとき、$A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$ となり、$A \cap B = \{2, 5\}$ を満たします。

したがって、$a = 3$ です。

このとき、$A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$ なので、

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$