行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$ が固有値0を持つとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$ が固有値0を持つとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が固有値 0 を持つとき、$\det(A) = 0$ となる。したがって、行列 $A$ の行列式を計算し、$a$ について解く。

$A$ の行列式は次の通り計算できる。

$\det(A) = a \begin{vmatrix} a & 0 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 4 \end{vmatrix}$

$\det(A) = a(a(-4) - 0(4)) - 0 + 1(1(4) - a(0))$

$\det(A) = a(-4a) + 4$

$\det(A) = -4a^2 + 4$

固有値 0 を持つので、$\det(A) = 0$。

$-4a^2 + 4 = 0$

$-4a^2 = -4$

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

3. 最終的な答え

$a = 1, -1$