2つの関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算します。これは、$g(f(x))$ を意味します。

$f(x)$ を $g(x)$ に代入します。

$g(f(x)) = g(2x - 1) = a(2x - 1) + b$

これを展開します。

$g(f(x)) = 2ax - a + b$

与えられた条件 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ と比較します。

$2ax - a + b = 4x + 5$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の2つの式が得られます。

$2a = 4$

$-a + b = 5$

最初の式から $a$ を求めます。

$a = \frac{4}{2} = 2$

$a$ の値を2番目の式に代入して $b$ を求めます。

$-2 + b = 5$

$b = 5 + 2 = 7$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 7$