問題は2つあります。 (4) 3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$ を解き、解の形 $x = (\text{コ}), \pm(\text{カ})$ の空欄を埋める。 (6) $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ について、 (1) $P(x)$ を与えられた式で割ったとき、割り切れるものを選択する。 (2) $P(x)$ を因数分解し、空欄を埋める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(4) 3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$ を解き、解の形 $x = (\text{コ}), \pm(\text{カ})$ の空欄を埋める。

(6) $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ について、

(1) $P(x)$ を与えられた式で割ったとき、割り切れるものを選択する。

(2) $P(x)$ を因数分解し、空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(4)

与えられた方程式を因数分解します。

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1) = 0$

よって、$x - 1 = 0$ または $x^2 + 1 = 0$。

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$。

$x^2 + 1 = 0$ より、$x^2 = -1$。よって、$x = \pm i$。

ここで、$i$ は虚数単位であり、$i = \sqrt{-1}$ です。

したがって、$x = 1, \pm i$ となります。

(6)

(1)

割り切れるものを見つけるには、剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、$P(a) = 0$ であれば、$P(x)$ は $x - a$ で割り切れるというものです。

* $x + 6 = 0$ とすると、$x = -6$。 $P(-6) = 2(-6)^3 - 7(-6)^2 + 10(-6) - 6 = 2(-216) - 7(36) - 60 - 6 = -432 - 252 - 60 - 6 = -750 \neq 0$.

* $x - \frac{3}{2} = 0$ とすると、$x = \frac{3}{2}$。 $P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - 7(\frac{3}{2})^2 + 10(\frac{3}{2}) - 6 = 2(\frac{27}{8}) - 7(\frac{9}{4}) + 15 - 6 = \frac{27}{4} - \frac{63}{4} + 9 = \frac{-36}{4} + 9 = -9 + 9 = 0$.

* $x - 2 = 0$ とすると、$x = 2$。 $P(2) = 2(2)^3 - 7(2)^2 + 10(2) - 6 = 2(8) - 7(4) + 20 - 6 = 16 - 28 + 20 - 6 = 2 \neq 0$.

* $x - \frac{1}{2} = 0$ とすると、$x = \frac{1}{2}$。 $P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - 7(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) - 6 = 2(\frac{1}{8}) - 7(\frac{1}{4}) + 5 - 6 = \frac{1}{4} - \frac{7}{4} - 1 = -\frac{6}{4} - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2} \neq 0$.

したがって、$x - \frac{3}{2}$ が割り切れる。

(2)

(1)より、$x - \frac{3}{2}$ で割り切れるので、$2x - 3$ も割り切れる。

$P(x) = (2x - 3)(ax^2 + bx + c)$ とおく。展開して係数を比較すると、

$2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = 2ax^3 + (2b - 3a)x^2 + (2c - 3b)x - 3c$

$2a = 2$ より $a = 1$

$-3c = -6$ より $c = 2$

$2b - 3a = -7$ より $2b - 3(1) = -7$。 $2b = -4$ より $b = -2$

よって、$P(x) = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$ となる。

3. 最終的な答え

(4) コは 1, カは 1

(6) (1) $x - \frac{3}{2}$

(2) $P(x) = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$