$x$ の2次方程式 $mx^2 - 2x + 3m^2 = 0$ が $x = 2$ を解に持つときの $m$ の値を求め、そのときの他の解を求めよ。ただし、2つの $m$ の値のうち小さい方をア、大きい方をイとする。次に、$m = $ア のときの他の解、及び $m = $イ のときの他の解を求める。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $mx^2 - 2x + 3m^2 = 0$ が $x = 2$ を解に持つときの $m$ の値を求め、そのときの他の解を求めよ。ただし、2つの $m$ の値のうち小さい方をア、大きい方をイとする。次に、$m =$ア のときの他の解、及び $m =$イ のときの他の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2$ を $mx^2 - 2x + 3m^2 = 0$ に代入します。

$m(2)^2 - 2(2) + 3m^2 = 0$

$4m - 4 + 3m^2 = 0$

$3m^2 + 4m - 4 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(3m - 2)(m + 2) = 0$

したがって、$m = \frac{2}{3}$ または $m = -2$ です。

ア $<$ イ より、アは $-2$、イは $\frac{2}{3}$ です。

(1) $m = -2$ のとき、方程式は $-2x^2 - 2x + 3(-2)^2 = -2x^2 - 2x + 12 = 0$ です。

$-2x^2 - 2x + 12 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

よって、$m = -2$ のとき、他の解は $-3$ です。

(2) $m = \frac{2}{3}$ のとき、方程式は $\frac{2}{3}x^2 - 2x + 3(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3}x^2 - 2x + \frac{4}{3} = 0$ です。

$\frac{2}{3}x^2 - 2x + \frac{4}{3} = 0$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

よって、$m = \frac{2}{3}$ のとき、他の解は $1$ です。

3. 最終的な答え

ア: $m = -2$

イ: $m = \frac{2}{3}$

$m = -2$ のとき、他の解は $x = -3$

$m = \frac{2}{3}$ のとき、他の解は $x = 1$