方程式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 = 1$ で表される曲線が、$x$軸の正の部分と交わる点を$P$とおく。この曲線の、点$P$における接線の方程式を求める問題。接線の方程式は、$y = \frac{イウ}{エ} x + \frac{オ \sqrt{カ}}{キ}$ の形式で与えられている。

1. 問題の内容

方程式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 = 1$ で表される曲線が、$x$軸の正の部分と交わる点を$P$とおく。この曲線の、点$P$における接線の方程式を求める問題。接線の方程式は、$y = \frac{イウ}{エ} x + \frac{オ \sqrt{カ}}{キ}$ の形式で与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸との交点$P$の座標を求める。$x$軸上では$y=0$なので、$2x^2 + 5x(0) - 3(0)^2 = 1$ より、

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$P$は$x$軸の正の部分との交点なので、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$。したがって、$P = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$。

次に、与えられた曲線の式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 = 1$ を$x$について陰関数微分する。

$\frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(5xy) - \frac{d}{dx}(3y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$4x + 5(y + x\frac{dy}{dx}) - 6y\frac{dy}{dx} = 0$

$4x + 5y + 5x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$

$(5x - 6y)\frac{dy}{dx} = -4x - 5y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x - 5y}{5x - 6y}$

点$P(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$における接線の傾きを求める。

$\frac{dy}{dx}|_{P} = \frac{-4(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 5(0)}{5(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 6(0)} = \frac{-2\sqrt{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{-4}{5}$

接線の方程式は、傾き$-\frac{4}{5}$ で点$(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$を通るので、

$y - 0 = -\frac{4}{5}(x - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{2\sqrt{2}}{5}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{-4}{5}x + \frac{2\sqrt{2}}{5}$

よって、イウ= -4、エ = 5、オ = 2、カ = 2、キ = 5