(1) 関数 $y = x^2 + ax + a$ のグラフが直線 $y = x + 1$ と接するように、定数 $a$ の値を求め、その時の接点の座標を求める。 (2) $k$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 2kx$ のグラフと直線 $y = 2x - k^2$ の共有点の個数を調べる。
2025/7/21
1. 問題の内容
(1) 関数 のグラフが直線 と接するように、定数 の値を求め、その時の接点の座標を求める。
(2) は定数とする。関数 のグラフと直線 の共有点の個数を調べる。
2. 解き方の手順
(1)
まず、関数 と直線 が接するという条件を考える。
を満たす がただ一つ存在すれば良い。
この式を整理すると、
この二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 が であることである。
よって 。
のとき、二次方程式は となり、。
接点の 座標は 。
よって、接点の座標は 。
のとき、二次方程式は となり、。
よって 。
接点の 座標は 。
よって、接点の座標は 。
(2)
関数 と直線 の共有点の個数を調べる。
この二次方程式の判別式を とすると、
共有点の個数は、 の符号によって決定される。
のとき、 より、 のとき、共有点は2個。
のとき、 より、 のとき、共有点は1個。
のとき、 より、 のとき、共有点は0個。
3. 最終的な答え
(1) のとき、接点の座標は 。 のとき、接点の座標は 。
(2) のとき、共有点は2個。 のとき、共有点は1個。 のとき、共有点は0個。