(1) 関数 $y = x^2 + ax + a$ のグラフが直線 $y = x + 1$ と接するように、定数 $a$ の値を求め、その時の接点の座標を求める。 (2) $k$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 2kx$ のグラフと直線 $y = 2x - k^2$ の共有点の個数を調べる。

代数学二次関数二次方程式判別式接する共有点
2025/7/21

1. 問題の内容

(1) 関数 y=x2+ax+ay = x^2 + ax + a のグラフが直線 y=x+1y = x + 1 と接するように、定数 aa の値を求め、その時の接点の座標を求める。
(2) kk は定数とする。関数 y=x22kxy = x^2 - 2kx のグラフと直線 y=2xk2y = 2x - k^2 の共有点の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1)
まず、関数 y=x2+ax+ay = x^2 + ax + a と直線 y=x+1y = x + 1 が接するという条件を考える。
x2+ax+a=x+1x^2 + ax + a = x + 1 を満たす xx がただ一つ存在すれば良い。
この式を整理すると、
x2+(a1)x+(a1)=0x^2 + (a - 1)x + (a - 1) = 0
この二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 DD00 であることである。
D=(a1)24(a1)=0D = (a - 1)^2 - 4(a - 1) = 0
(a1)(a14)=0(a - 1)(a - 1 - 4) = 0
(a1)(a5)=0(a - 1)(a - 5) = 0
よって a=1,5a = 1, 5
a=1a = 1 のとき、二次方程式は x2=0x^2 = 0 となり、x=0x = 0
接点の yy 座標は y=x+1=0+1=1y = x + 1 = 0 + 1 = 1
よって、接点の座標は (0,1)(0, 1)
a=5a = 5 のとき、二次方程式は x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0 となり、(x+2)2=0(x + 2)^2 = 0
よって x=2x = -2
接点の yy 座標は y=x+1=2+1=1y = x + 1 = -2 + 1 = -1
よって、接点の座標は (2,1)(-2, -1)
(2)
関数 y=x22kxy = x^2 - 2kx と直線 y=2xk2y = 2x - k^2 の共有点の個数を調べる。
x22kx=2xk2x^2 - 2kx = 2x - k^2
x22kx2x+k2=0x^2 - 2kx - 2x + k^2 = 0
x22(k+1)x+k2=0x^2 - 2(k + 1)x + k^2 = 0
この二次方程式の判別式を DD とすると、
D/4=(k+1)2k2=k2+2k+1k2=2k+1D/4 = (k + 1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1
共有点の個数は、DD の符号によって決定される。
D>0D > 0 のとき、2k+1>02k + 1 > 0 より、k>1/2k > -1/2 のとき、共有点は2個。
D=0D = 0 のとき、2k+1=02k + 1 = 0 より、k=1/2k = -1/2 のとき、共有点は1個。
D<0D < 0 のとき、2k+1<02k + 1 < 0 より、k<1/2k < -1/2 のとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

(1) a=1a = 1 のとき、接点の座標は (0,1)(0, 1)a=5a = 5 のとき、接点の座標は (2,1)(-2, -1)
(2) k>1/2k > -1/2 のとき、共有点は2個。k=1/2k = -1/2 のとき、共有点は1個。k<1/2k < -1/2 のとき、共有点は0個。

「代数学」の関連問題

直線①と双曲線②が2点A, Bで交わっている。点Aの座標は(2,3)である。 (1) 直線①の式を求める。 (2) 双曲線②の式を求める。 (3) x軸上に点C(6,0)をとるとき、三角形ABCの面積...

連立方程式双曲線直線座標平面面積
2025/7/25

数列の和 $2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + \dots + 2n(3n-1)$ を求め、与えられた選択肢の中から正しいものを選択します。

数列シグマ級数計算
2025/7/25

与えられた不等式 $4x+4 \leq 2x-6 \leq 3x-7$ を解きます。

不等式連立不等式一次不等式解の範囲
2025/7/25

一次方程式 $4x+5y=2$ のグラフが点 $(a, -2)$ を通るとき、$a$ の値を求める問題です。

一次方程式グラフ座標代入解の公式
2025/7/25

次の連立不等式を解く問題です。 $ \begin{cases} 2x - 2 > x - 3 \\ x + 1 \geq 3x - 7 \end{cases} $

連立不等式不等式一次不等式解の範囲
2025/7/25

方程式 $6x - 3y + 12 = 0$ のグラフは、一次関数 $y = 2x$ のグラフを $y$ 軸の正の方向にどれだけ平行移動したものか求める問題です。

一次関数グラフ平行移動方程式
2025/7/25

不等式 $1-6x \geq 19$ を解きます。

不等式一次不等式解法
2025/7/25

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられている。このグラフとx軸との交点をP, Qとする。OP + OQ を a, b, c を用いて表す。

二次関数二次方程式解と係数の関係グラフ
2025/7/25

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b \\ c & d & 0 & 0 \\ e & f & g & 0...

行列式線形代数余因子展開行列
2025/7/25

方程式 $3x + 4y = 20$ のグラフの傾きと切片を求めます。

一次方程式グラフ傾き切片
2025/7/25